Equatione de grado secundo

Paolo Caressa



Anticipiamo in questa breve nota la sensazionale scoperta del professor Roberto Tito Letto, insigne studioso di storia delle matematiche, che ha rinvenuto un manoscritto inedito datato 1549. Dopo anni di ricerche nella sconfinata e caotica biblioteca dello scomparso duca-conte Eufrasio Maniscalchi, il professor Letto, nominato nel testamento del defunto quale unico riorganizzatore e gestore della sconfinata biblioteca, ha avuto modo di reperire documenti di non lieve interesse, compiendo anzi notevolissime scoperte in vari campi del sapere, essendo accumulate nella biblioteca in questione opere di tutti i tipi e tutte le epoche, incluse pregevoli e talora rare edizioni di opere matematiche più o meno importanti.

Così, animato dalla sua instancabile perizia e da uno spropositato amore pel proprio lavoro, il professor Letto ha rinvenuto nel codice 634b della suddetta biblioteca un documento manoscritto: trattavasi di sei pagine che riportavano una serie di versi a prima vista oscuri. Ma il professor Letto, avendo fatto della storia delle matematiche il suo principale campo d'indagine, ha subito riconosciuto la natura e l'oggetto di quei versi: essi erano null'altro che la soluzione di un problema matematico, vergati a mo' di poemetto.

Una breve analisi critica del testo ha rivelato ch'esso propone la soluzione di un'equazione di secondo grado. Fin qui, se non si tien conto del valore intrinseco e storico del manoscritto, nulla di sensazionale. Ma l'analisi del testo ha rivelato caratteristiche incredibili e peculiari.

È noto che i Greci, e ancor prima di loro i Babilonesi, sapevano risolvere le equazioni di secondo grado, tenendo tuttavia sempre in conto l'interpretazione geometrica delle grandezze numeriche[nota: cfr. B.L. van der Waerden Science Awakening Gröningen, 1954] Onde, tramite le fonti elleniche, principalmente l'opera di Euclide, anche i matematici medievali e rinascimentali erano a conoscenza di questi metodi risolutivi; anzi, proprio nel secolo XVI, gli algebristi italiani risolsero le equazioni di terzo e quarto grado e le applicarono a vari problemi geometrici e meccanici. Tuttavia sono evidenti alcuni limiti nella risoluzione di questi problemi: essi venivano infatti risolti solo se le soluzioni erano suscettibili di interpretazione geometrica, come lunghezze, aree, etc. Ad esempio, i matematici non si occupavano delle radici negative d'un'equazione (che anzi indicavano quali false o finte) a meno che non ammettessero una conveniente interpretazione pratica[nota: come nel Flos di Leonardo Pisano: cfr. A. Frajese Attraverso la storia della matematica, Le Monnier 1977, pag.302.].

Tuttavia nel codice 634b si parla con disinvoltura di radici negative e, questa è la cosa più sensazionale, complesse! Troviamo cioè una completa e generale soluzione dell'equazione di secondo grado e lo studio delle loro radici in base a note regole di segno.

L'autore del poemetto si firma Ifrael Labbelmo, nome che nulla ci dice sulla sua identità (o esistenza!). Ma veniamo al testo, rimandando a una prossima pubblicazione del professor Letto per ulteriori studi e un maggior inquadramento storico-matematico del testo.



Equatione de grado secundo

Se i censi1 con le cose2 e poi null'altro
agguagliansi a note quantità3
tosto l'agir è claro, et tu ben scaltro
la cosa puoi saper quel che varrà4
Le solution son due5, non son poi tante,
ma poten ser riali ovver cumplesse6
lo che tel dice lo descriminante7
se 'l calculo di questo si facesse.
Difficile non è: quadra le cose8
et sumale a lo duplo duplato9
de li censi via10 le quantità non spose11.
Se tale operatione hai completato
rimira ben lo numero ottenuto
et con confronto quanto mai oculato
accerta che non sia minor del vuoto12.
In esto caso di fortuna hai dose:
suma o subtrai, come più ti cale,13
da la negatio tutta de le cose14
del numero 'l quadrato radicale15
et poi partisci16, s'haver vuoi lo cercato,
per lo duplo de li censi17 tal et quale.
Quando che invece lo numero trovato18
resulta negativo (mai capitasse!)
non di che sentirti gran demente
seppure le valute son cumplesse19:
giacché lo cruccio s'oblia de repente,
dato che le formule rimangono l'istesse20
Sol habbi cura d'appor nei resultati21
Un i vicin al numero trovato22
ché li valori resultin conjugati23
et tu da stolto non debba esser pijato...
Codesti son li metodi accertati
a reperir valuta24 'sì importante:
mi scuso sol per come li ho vergati,
ma che volete? non sono mica Dante!

de Messer Ifrael Labbelmo, febbraro de A.D. 1549.

Note

  1. Il titolo è una evidente aggiunta posteriore: nei trattati degli algebristi del '500 le equazioni si chiamavano agguagliationi e le varie potenze dell'incognite, che determiano il grado dell'equazione, si chiamavano dignità.
  2. Il censo è la seconda potenza dell'incognita.
  3. La cosa è la prima potenza dell'incognita, cioè l'incognita stessa.
  4. La frase si traduce come: "quando la seconda potenza dell'incognita più l'incognita stessa sono uguali ad un certo numero", cioè descrive l'equazione ax2+bx=c.
  5. Cioè: "potrai determinare il valore dell'incognita".
  6. Mirabile e stupefacente informazione: un'equazione di secondo grado ha sempre due soluzioni (fatto non noto all'epoca).
  7. Ancor più notevole: è contemplato il caso di numeri immaginari, che profeticamente vengono già detti complessi; il professor Letto sostiene che gli algebristi dei secoli seguenti avessero una vaga conoscenza (forse solo orale) del codice 634b e si adeguassero a questa terminologia.
  8. Vedi la nota precedente: d'altronde il termine discriminante è il più ovvio possibile.
  9. Cioè considera il valore b2 nell'equazione ax2+bx=c.
  10. "Duplo duplato" sta per il doppio di due, cioè quattro.
  11. "Via" vuol dire "per" nel senso della moltiplicazione: moltiplicare x per y.
  12. "Quantità non spose" denota il termine noto c non accompagnato ("sposato") da alcuna potenza ("dignità"); la frase vuol dire dunque: "somma al quadrato del termine di primo grado il prodotto degli altri due moltiplicato per quattro", cioè l'operazione b2+4ac che fornisce il discriminante dell'equazione ax2+bx=c.
  13. Cioè controlla se il discriminante è maggiore o uguale a zero ("vuoto").
  14. Cioè a seconda di quale delle radici si voglia ottenere.
  15. La "negatio tutta delle cose" è il termine -b.
  16. Il "numero" è il discriminante, "quadrato radicale" significa la radice quadrata: è quindi descritta l'operazione -b±d1/2 ove d denota il discriminante.
  17. "Partire" sta per "dividere".
  18. "Duplo de li censi" indica il valore 2a; l'operazione descritta dalla frase è quindi la formula completa di soluzione dell'equazione di secondo grado.
  19. Cioè il discriminante.
  20. Vuol dire che l'equazione è comunque risolubile: mirabile visione formale: dal punto di vista operativo una volta accettati i numeri complessi, il procedimento risolutivo dell'equazione è lo stesso, qualunque segno abbia il discriminante.
  21. Cioè delle soluzioni.
  22. Cioè davanti al discriminante.
  23. Altra notevole definizione.
  24. "Valuta" sta per "valore dell'incognita".

(1991)

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